关键路线法（CPM）例题解析
题目背景： 某工程项目包含以下五个活动，每个活动的持续时间、前置任务以及最早/最晚开始和结束时间均需要计算。请利用关键路线法确定项目的最短完成时间和关键路径。
活动信息表：
A 基础挖掘 5 无 B 地基处理 7 A C 钢筋安装 3 B D 混凝土浇筑 10 B, C E 外墙施工及装修 8 D解题步骤：
绘制网络图： 根据活动信息表，绘制出项目的网络图，明确各活动之间的逻辑关系。
计算最早开始时间和最早结束时间： 从起始节点（无前置任务的活动A）开始，逐步向后推算。
- A的最早开始时间ES=0（因为A是第一个活动），最早结束时间EF=ES+持续时间=0+5=5。
- B的最早开始时间ES=A的EF=5，最早结束时间EF=ES+持续时间=5+7=12。
- C的最早开始时间ES=B的EF=12，但由于C的前置任务是B且没有D的限制（并行关系），所以C的实际最早开始时间仍为ES=12（但需注意实际施工中可能需协调资源），最早结束时间EF=ES+持续时间=12+3=15。
- D的最早开始时间是其所有前置任务中最后完成的那个任务的结束时间，即max(B的EF, C的EF)=15，最早结束时间EF=ES+持续时间=15+10=25。
- E的最早开始时间ES=D的EF=25，最早结束时间EF=ES+持续时间=25+8=33。
计算最晚开始时间和最晚结束时间： 从终止节点（无后续任务的活动E）开始，逆向推算。
- E的最晚结束时间LF=项目的总工期（目前未知，但暂定为E的EF作为初始值进行迭代调整）=33，最晚开始时间LS=LF-持续时间=33-8=25（与D的EF相同，说明D到E是紧前关系）。
- D的最晚开始时间LS=E的LS=25，最晚结束时间LF=LS+持续时间=25+10=35（但需调整为不超过任何后续活动的最早开始时间或整个项目的最终完成期限，此处因无后续活动，保持为35用于校验关键路径）。
- C的最晚结束时间需满足D的开始条件（D的ES=15且由B,C共同决定），因此先算D的最晚开始时间LS'=D的LF-持续时间=35-10=25，再反推C的LF=D的LS'-C到D的时间差（这里为0，因为是并行结束）=25，C的最晚开始时间LS=LF-持续时间=25-3=22。
- B的最晚结束时间需同时考虑C和D的开始条件，由于C已确定在22开始且不影响D的15开始，主要关注D的LS'对B的影响，即B的LF应使D能按时开始（通过C间接影响），直接计算得B的LF至少为C的LS'+C的持续时间+B到C的时间差=22+3=25（不考虑浮动时间），B的最晚开始时间LS=LF-持续时间=25-7=18。
- A的最晚结束时间需保证B能按时开始，即A的LF=B的LS+B到A的时间差（这里是0）=18，A的最晚开始时间LS=LF-持续时间=18-5=13（但实际在此例中，A无后续限制，其LS主要由后续活动决定，此步主要用于验证）。
确定关键路径： 比较每个活动的最早和最晚开始/结束时间，凡是最早时间与最晚时间相同的活动即为关键活动，它们组成的路径就是关键路径。
- A: ES=0, LS=13 (非关键，有浮动时间)
- B: ES=5, LS=18 (非关键，有浮动时间但在关键路径上决定后续)
